Вопросы по курсу
«Математические модели в управлении»,
выносимые на коллоквиум
Осенний семестр
1. Понятие управления. Понятие мероприятия или операции. Управление и уровни управления.
2. Основные компоненты для принятия оптимального решения (структурирование операции) – цели, альтернативы и критерии их сравнения, ограничения, управляемые и неуправляемые факторы.
3. Понятие цели в управлении и принятии решения. Взаимосвязь цели с выбором решения. Лицо принимающее решение.
4. Понятия управляемых и неуправляемых факторов, их роль в принятии решения. Понятие об ограничениях на условия, в которых принимаются решения.
5. Этапы принятия управленческих решений.
6. Теория принятия решений и Исследование операций – их краткая характеристика и сравнение.
7. Основные понятия Исследования операций – операция, допустимое решение, оптимальное решение, Лицо принимающее решение (ЛПР), целевая функция и критерий сравнения альтернатив, область допустимых решений (ограничения).
8. Формулировка общей задачи выбора оптимального решения в Исследовании операций. Что означают понятия: область допустимых решений, допустимое решение, оптимальное решение, целевая функция.
9. Что такое модель и моделирование. Адекватность модели.
10. Виды моделей и моделирования. Их характеристика. Примеры.
11. Понятие об Аналоговых моделях и аналоговом моделировании, их примеры.
12. Понятие о Физических моделях и физическом моделировании, их примеры.
13. Понятие о Математических моделях и математическом моделировании, их примеры
14. Этапы построения математической модели.
15. Этапы моделирования.
16. Виды математических моделей. Примеры.
17. Линейные математические модели, примеры.
18. Нелинейные математические модели, примеры.
19. Стационарные математические модели, примеры
20. Динамические (нестационарные) математические модели. Динамические математические модели и их графическая интерпретация – модель народонаселения Мальтуса и Ферхюльста;. математическая модель рекламной компании.
21. Детерминированные математические модели, примеры.
22. Математические модели в условиях неопределенности. Два вида неопределенностей. Стохастические математические модели, примеры. Математические модели в условиях полной неопределенности (непредсказуемости), примеры.
23. Оптимизационные математические модели, примеры.
24. Многокритериальные математические модели.
25. Сетевые модели.
26. Математическое программирование – что оно изучает. Общая постановка задачи математического программирования. Понятия задач линейного, нелинейного и целочисленного программирования
27. Постановка общей задачи оптимизации. Как связаны между собой задачи максимизации и минимизации целевой функции.
28. Задача линейного программирования (математическая модель) об использования ресурсов или задача планирования производства. Пример. Общая постановка задачи линейного программирования об использовании ресурсов.
29. Задача линейного программирования (математическая модель) о составлении рациона или задача о диете. Пример. Общая постановка задачи линейного программирования о составлении рациона.
30. Задача линейного программирования (математическая модель) о финансовом планировании. Пример. Общая постановка задачи линейного программирования о финансовом планировании.
31. Транспортная задача (математическая модель). Пример. Общая постановка транспортной задачи линейного программирования. Условия баланса транспортной задачи. Открытая и закрытая транспортная задача. Фиктивный поставщик и фиктивный потребитель.
32. Задачи, сводящиеся к транспортной задаче линейного программирования. Задача формирования оптимального штата фирмы. Пример.
33. Целочисленные задачи линейного программирования. Задача о ранце, формулировка в общем виде.
34. Целочисленные задачи линейного программирования. Задача закрепления самолетов за воздушными линиями. Пример и постановка в общем виде.
35. Целочисленные задачи с булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о ранце в общей постановке.
36. Целочисленные задачи с булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о назначениях (распределительная задача) в общей постановке.
37. Целочисленные задачи с булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача коммивояжера в общей постановке.
38. Формулировка общей задачи линейного программирования. Что называется допустимым решением и планом; оптимальным решением и оптимальным планом. Сведение задачи максимизации целевой функции к задаче минимизации.
39. Формулировка задачи линейного программирования в стандартной форме и канонической форме.
40. Приведение задачи линейного программирования заданной в стандартной форме в каноническую. Алгоритм приведения. Пример.
41. Понятия линии уровня. Понятие вектора-градиента и его смысл. Построение вектора-градиента для линейных линий уровня. Построение линейной функции уровня. Примеры.
42. Графический метод решения задач линейного программирования с двумя переменными. Понятие вектора-градиента для определения направление возрастания линий уровня целевой функции. Понятие выпуклости области допустимых решений. Где в области допустимых решений достигается оптимальное решение задачи линейного программирования?
43. Графическое решение задач линейного программирования на примере задачи о распределении ресурсов с двумя переменными. Понятие выпуклости области ограничений. Где в области допустимых решений достигается оптимальное решение задачи линейного программирования?
44. Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования. Где в области допустимых решений достигается оптимальное решение задачи линейного программирования?
45. Постановка общей задачи линейного программирования. Различные случаи, которые могут встретиться при решении задач линейного программирования и их графическая интерпретация.
46. Сущность симплекс-метода решения задач линейного программирования. В какой форме должна быть сформулирована задача линейного программирования для применения симплекс-метода. Приведение задачи линейного программирования заданной в стандартной форме к канонической форме.
47. Записать задачу линейного программирования для двух переменных, трех переменных и n-переменных и геометрические образы целевой функции и неравенств-ограничений для этих задач.
48. Запись системы ограничений задачи линейного программирования в канонической форме,, имеющей m уравнений и n переменных (неизвестных). Понятия о базисных и свободных переменных.
49. Что называется допустимыми и недопустимыми решениями. Что такое базисное решение и допустимое базисное решение (опорный план). Какой графический образ имеет каждое допустимое базисное решение системы ограничений в канонической форме. Что определяет допустимое базисное решение в многограннике решений.
50. Сущность симплекс-метода и его геометрическая интерпретация. Алгоритм симплекс-метода.
51. Процедура применения симплекс-метода на конкретном примере.
52. Критерии остановки симплекс-метода при достигнутом оптимуме целевой функции в случае поиска максимума и в случае поиска минимума целевой функции.
53. Задачи дробно-линейного программирования и их примеры. Графическая интерпретация дробно-линейной целевой функции в случае двух переменных.
54. Общая постановка задачи дробно-линейного программирования. Приведите критерий, указывающий направление вращения вокруг начала координат целевой функции в направлении ее возрастания в случае двух переменных. В каких местах области допустимых решений расположены максимум и минимум задачи дробно-линейного программирования.
55. Метод графического решения задач дробно-линейного программирования в случае двух переменных. В каких местах области допустимых решений расположены максимум и минимум задачи дробно-линейного программирования.
56. Постановка задачи дробно-линейного программирования. Различные случаи, которые могут встретиться при решении задач дробно-линейного программирования, их графическая интерпретация. В каких местах области допустимых решений расположены максимум и минимум задачи дробно-линейного программирования.
57. Приведение задачи дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Общий случай. Разобрать конкретный пример.
58. Понятие о целочисленных задачах линейного программирования. Графическая интерпретация.
59. Показать недопустимость поиска целочисленного решения путем округления решения обычной задачи линейного программирования.
60. Привести пример отсутствия решения задач линейного программирования в целых числах.
61. Пример задачи, имеющей несколько различных решений в целых числах и доставляющих целевой функции одинаковое значение оптимума.
62. Сущность метода ветвей и границ для решения задач целочисленного программирования. Графическая интерпретация.
63. Алгоритм метода ветвей и границ и построение дерева решений в случае двух переменных.
64. Что означает анализ чувствительности оптимального решения и оптимального значения целевой функции задач линейного программирования. На конкретном примере рассмотрите как изменяется оптимальное решение при изменении коэффициентов в целевой функции, а также – влияние правых частей ограничений-неравенств на вид области допустимых решений и оптимальное решение.
65. Экономическая интерпретация двойственной задачи на примере задачи о планировании производства.
66. Что означают теневые цены (неявные цены, двойственные оценки ресурсов) двойственной задачи.
67. Понятие о взаимно двойственных задачах.
68. Сравнительные характеристики двух взаимно двойственных задач. Сопоставление взаимно двойственных задач.
69. Основное неравенство теории двойственности. Его экономический смысл.
70. Первая (основная) теорема двойственности и ее экономический смысл.
71. Запишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования (в общем виде) и приведите их к каноническому виду. В чем состоит экономический смысл вводимых при этом дополнительных переменных. Что означают понятия: дефицитные и недефицитные ресурсы (лимитирующие и нелимитирующие ресурсы). Что показывают дополнительные переменные в оптимальном решении двойственной задачи.
72. Вторая теорема двойственности. Как с помощью второй теоремы двойственности находить оптимальное решение исходной задачи линейного программирования, располагая оптимальным решением двойственной к ней задаче.
73. Связь между оптимальными решениями двух взаимно двойственных задач.
74. Третья теорема двойственности. Что показывают теневые цены (двойственные оценки) при анализе чувствительности целевой функции.
75. Приведите примеры сетевых моделей транспортной задачи, транспортной задачи с промежуточными пунктами, задачи коммивояжера, задачи определения максимального потока, задачи нахождения критического пути в сетевом графике, задачи определения кратчайшего пути.
76. Понятие сети, дуги, ориентированной и неориентированной дуги (ребра), веса дуги.
77. Сформулируйте задачу о максимальном потоке (на примере) и приведите ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи о максимальном потоке в общем виде.
78. Сформулируйте задачу о кратчайшем пути (на примере) и приведите ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи о кратчайшем пути в общем виде.
79. Сформулируйте задачу о нахождении критического пути в сетевом графике, как задачу о определения максимального пути в сети.
80. Сформулируйте задачу построения сетевого графика (на примере) и постройте ее математическую модель. Запишите содержательную математическую модель задачи нахождения критического пути в сетевом графике (или задачи определения максимального пути в сети) в общем виде.
81. Решение задач линейного программирования средствами Excel.
82. Решение транспортных задач средствами Excel.
83. Решение задачи с двоичными переменными - задачи о назначениях средствами Excel.
Составил д.т.н., профессор
А.Г. Мадера